好的问题让人豁然开朗。思考这个问题本身，能发展出一系列的想法、催生出一系列文章。无论最终是否解决，仅仅推敲、研究这个问题的过程就很重要。好的问题通常是简洁、漂亮的。解决了它，其所在领域里的许多问题可能都会随之解决，就像在长江里面有一块巨石，将巨石挪开，水流就会顿时变得顺畅。
我要举例的第一个问题，是关于声音和几何的关系——能否听出鼓的面积。古希腊时代，人类就认识到声音由一些基本音组合而成。无论弹钢琴或是打鼓，敲击会产生不同频率的波动，发出声音。波动由多个基本波组合而来，每个基本波有固定的频率，频率则可由鼓的谱计算得到。著名几何学家博赫纳提过一个问题：我们可否听出鼓的形状？这一问题的思想背景可以追溯至1910年。当时，量子力学刚萌芽，物理学家洛伦兹提出：是否可以通过鼓声的谱和频率估算鼓的面积？德国数学家希尔伯特对这个问题很感兴趣，但认为它太难。但一年后，希尔伯特的学生外尔就把问题解决了。外尔认为，谱越来越高，按照量子力学的观念，即谱的观念可以推测到局部的几何变化，从而推导出外尔方程。这个方程，对今天的数学仍然有重要的影响。外尔的思路和方法还可以向前追溯。欧拉花了很多工夫研究，发展出重要的泛函方程。黎曼将其推广，写下了著名的黎曼函数。这个划时代的工作，影响了数论的发展。外尔又推广黎曼函数的思想到一般的空间，用以研究“听鼓声估算面积”这一问题，并最终解决。
能否听出鼓的面积——这个问题由洛伦兹从物理现象出发而提出问题，最终由外尔解决。这个问题简洁、自然且有趣，而其解决问题的方法最终引发了几何学上不少重要的进展。
我想说的第二个问题也很有趣——关于极小曲面的猜想。我们生活中可以看到很多极小曲面。比如，在盛有肥皂水的盆里，将铁线放在水中提拉出来，形成的薄薄的肥皂膜，就是极小曲面。而在实验中，我们可以构造更多不同形象的极小曲面。几何学家热衷于了解它们的性质。1977 年，我提出一个问题：如何能找到所有完备没有边界的极小曲面？经过40 年的努力，我的同学米克斯已经基本解决了这个问题。
我的第二个猜想更困难，到现在还没全部解决。我提出，可不可以找到三维球中所有紧致极小曲面？我的朋友劳森构造出一些有趣的例子，被称作劳森曲面。假如将这个曲面放在四维空间的单位球里，然后从圆心取直线和这个曲面的每一个点联结起来可得到一个三维锥，即一个三维极小流形。这后来成为广义相对论中描述时空的重要工具。
举这些例子，我是想说，数学是很奇妙的学问，它是一个讲推理、讲规则的学问，通过比较不同的规则和思想，就可以得到有意义的猜想，这其实是数学研究中的惯用手法。所以我常说，数学中也有“赋、比、兴”。所谓“比”，即用不同的景物类比，比如，杨柳代表离别或者美人的腰肢，这缘于柳条细而柔所作的类比，是数学中常用的手段。数学研究者们应该考虑这个思路，不能只做题目，不能看到数字就是数字、看到方程就是方程，它们中间其实是有很多可以比较、可以关联的。
（摘自《博览群书》2024 年第2 期，子昕图）